【语法】
一、隐蔽陷阱
五堆石子各 3、6、2、8、4 颗,每次只能合并相邻两堆,代价为两堆之和:随手按从左到右的顺序合并,总代价 61;换一个合并顺序,代价能降到 57——顺序决定成本。
二、底层原理
区间动态规划:dp[i][j] 记录合并第 i 到 j 堆的最小代价,枚举末步的分割点 k:dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j]) + sum(i..j),区间和用前缀和 O(1) 取得。五堆样例最优总代价 57。
三、正确代码
基础写法(前缀和):
local function prefix(stones)
local pre = {0}
for i, v in ipairs(stones) do
pre[i + 1] = pre[i] + v
end
return pre
end
进阶写法(区间 dp 求最优):
local function mergeCost(stones)
local n, pre = #stones, prefix(stones)
local dp = {}
for i = 1, n do
dp[i] = {}
dp[i][i] = 0
end
for length = 2, n do
for i = 1, n - length + 1 do
local j = i + length - 1
dp[i][j] = math.huge
for k = i, j - 1 do
local c = dp[i][k] + dp[k + 1][j]
+ pre[j + 1] - pre[i]
if c < dp[i][j] then dp[i][j] = c end
end
end
end
return dp[1][n]
end
local p = getplayerbyname("stone01")
sendmsg(p, 1, "最少代价 " .. mergeCost({3, 6, 2, 8, 4}))
四、引擎验证
3、6、2、8、4 五堆最少代价 57;先合并 6 与 2 再逐步并拢的方案恰为最优路径。
五、FAQ
问:相邻限制去掉呢?
答:变成哈夫曼问题,每次取最小两堆。
问:为何用区间 dp?
答:相邻约束下,状态按区间定义最自然。
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